一、单位向量

单位向量是指模等于1的向量，由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。单位向量有无数个。

一个非零向量除以它的模，可得所需单位向量。设原来的向量是$\vec{AB}$，则与它方向相同的单位向量$e = \frac{\vec{AB}}{|AB|}$。一个单位向量的平面直角坐标系上的坐标表示可以是：$(n, k)$, 则有 $n^2 + k^2 = 1$。

二、点乘和叉乘

向量的点乘

向量的点乘又称为内积，设两个向量为 $\vec{A} = \{ x_1, x_2, x_3,…,x_n \}$，$\vec{B} = \{y_1,y_2,y_3,…,y_n\}$，

向量的点乘结果为对应子项的乘积和，也就是
$$
\vec{A} \cdot \vec{B} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 +,…, + x_n y_n
$$
点乘结果为一个数值。向量点乘的另一种表达式为 $\vec{A} \cdot \vec{B} = |A||B|cos\theta$。该形式表明，当两个向量的夹角为90度时，两向量的点乘结果为0，此时两向量互相垂直，或者也可以称为两向量正交（0向量和任何向量都正交）。从第二种表达式中，还可以发现$|A|cos\theta$ 就是 A 在 B 上的投影，那么点乘就是 A 在 B 上的投影乘以 B 的长度，可以理解为用来体现两个向量平行程度的大小，当两向量垂直时，平行度最小，值为0。

向量的叉乘

设向量$\vec{A} = \{a_1, a_2, a_3\}, \vec{B}=\{b_1, b_2, b_3\}$
$$
\vec{A} \times \vec{B} =\begin{vmatrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3\end{vmatrix}i - \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3\end{vmatrix}j + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{vmatrix}k
$$
叉乘的向量是一个向量，向量的模是向量A，B组成平行四边形的面积；向量方向是垂直于向量A，B组成的平面。向量叉乘的模另一种表达式为$|\vec{A} \times \vec{B}| = |A||B|sin\theta$, 类似的$|A|sin\theta$就是A在B垂直方向上的分量，所以两向量的叉乘可以表示向量的垂直程度。当两个向量平行时，叉乘值为0，也就是垂直程度最小。

假设 A 和 B 的叉乘结果为 C，则 C 向量分别和 A ，B 正交，C 的方向可以由右手守则来判定。用右手食指指向 A，中指指向 B，此时大拇指的方向就是 C 的方向。